Modele mieszane – jak analizować dane z powtarzanych pomiarów?
W wielu badaniach ta sama osoba jest badana więcej niż jeden raz. Pomiar może być wykonywany przed leczeniem, po miesiącu, po trzech miesiącach i po roku. W innym projekcie pacjenci mogą mieć różną liczbę wizyt oraz różne odstępy między pomiarami.
Takie dane nie spełniają założenia pełnej niezależności obserwacji. Wyniki uzyskane od tej samej osoby są ze sobą zwykle bardziej podobne niż wyniki dwóch różnych osób.
Jednym z najbardziej użytecznych narzędzi do analizy takich danych są modele mieszane, nazywane także mixed models lub – w przypadku zmiennej zależnej ciągłej – linear mixed models.
Dlaczego zwykła regresja może być niewystarczająca?
Załóżmy, że 100 pacjentów ma oceniany poziom bólu cztery razy.
Powstaje 400 obserwacji.
Jeżeli potraktujemy je jak 400 niezależnych rekordów, zignorujemy fakt, że cztery pomiary należące do jednego pacjenta są ze sobą powiązane.
Może to prowadzić do nieprawidłowego oszacowania błędów standardowych i niepewności wyników.
Model mieszany pozwala uwzględnić tę zależność.
Efekty stałe
Fixed effects – efekty stałe opisują przeciętny związek pomiędzy analizowanymi zmiennymi w badanej populacji.
Przykładowe efekty stałe:
- czas,
- rodzaj leczenia,
- wiek,
- płeć,
- grupa badana,
- interakcja grupa × czas.
Jeżeli współczynnik czasu wynosi:
B = −1,2
może to oznaczać średni spadek wyniku o 1,2 jednostki na każdą jednostkę czasu, o ile czas został w modelu zakodowany liniowo.
Efekty losowe
Random effects – efekty losowe pozwalają uwzględnić różnice pomiędzy osobami lub innymi jednostkami grupowania.
Najprostszy przykład to losowy wyraz wolny – random intercept.
Oznacza on, że poszczególni pacjenci mogą rozpoczynać obserwację z różnego poziomu.
Pacjent A może mieć początkowy wynik 3, a pacjent B – 8.
Model nie wymaga wtedy, aby wszyscy rozpoczynali od identycznego poziomu.
Random slope – losowe nachylenie
Można również założyć, że pacjenci różnią się tempem zmian w czasie.
Jedna osoba poprawia się szybko, inna wolniej, a u trzeciej wynik prawie się nie zmienia.
W takim przypadku można rozważyć random slope, czyli losowe nachylenie dla czasu.
Model staje się bardziej realistyczny, ale również bardziej złożony.
Interakcja grupa × czas
Jednym z najważniejszych zastosowań modeli mieszanych jest analiza interakcji:
grupa × czas.
Załóżmy:
- grupa A – interwencja,
- grupa B – kontrola,
- cztery pomiary.
Istotna interakcja czas × grupa może wskazywać, że przebieg zmian jest różny pomiędzy grupami.
Nie chodzi wtedy tylko o to, czy jedna grupa ma średnio wyższy wynik, ale czy zmienia się inaczej w czasie.
Przykład
W grupie interwencyjnej wynik bólu:
T1 = 7,2
T2 = 5,8
T3 = 4,6
T4 = 3,9
W grupie kontrolnej:
T1 = 7,0
T2 = 6,8
T3 = 6,6
T4 = 6,5.
Najważniejszym efektem może być właśnie interakcja grupa × czas.
Modele mieszane a ANOVA z powtarzanymi pomiarami
Obie metody mogą analizować powtarzane pomiary, ale modele mieszane są znacznie bardziej elastyczne.
Klasyczna ANOVA z powtarzanymi pomiarami najlepiej sprawdza się przy regularnej strukturze danych.
Modele mieszane pozwalają łatwiej analizować sytuacje, w których:
- uczestnicy mają różną liczbę pomiarów,
- pomiary wykonano w różnych terminach,
- część obserwacji jest brakująca,
- chcemy modelować różnice indywidualne,
- dane mają strukturę hierarchiczną.
Brak jednego pomiaru nie musi usuwać pacjenta
Załóżmy, że pacjent ma wyniki:
T1 – jest,
T2 – jest,
T3 – brak,
T4 – jest.
W klasycznej analizie complete-case taka osoba może zostać całkowicie wykluczona.
W modelu mieszanym jej pozostałe obserwacje mogą nadal zostać wykorzystane, przy odpowiednich założeniach dotyczących mechanizmu braków danych.
To jedna z ważnych przewag tej metody.
Dane hierarchiczne
Modele mieszane mogą być używane nie tylko do czasu.
Przykład:
pacjenci są przypisani do lekarzy, a lekarze do szpitali.
Mamy wtedy strukturę:
pomiar → pacjent → lekarz → szpital.
Obserwacje w obrębie tego samego szpitala mogą być bardziej podobne niż obserwacje z dwóch różnych ośrodków.
Modele wielopoziomowe pozwalają taką strukturę uwzględnić.
ICC w modelach wielopoziomowych
Jednym z użytecznych parametrów jest intraclass correlation coefficient – ICC.
Może on określać, jaka część całkowitej wariancji wynika z różnic pomiędzy klastrami.
Jeżeli:
ICC = 0,20
około 20% wariancji może być związane z poziomem grupowania w danym modelu.
Jak kodować czas?
Czas można traktować jako:
- zmienną ciągłą,
- czynnik kategorialny,
- funkcję nieliniową.
Jeżeli interesuje nas prosty trend liniowy, można wykorzystać czas liczbowy.
Jeżeli oczekujemy, że zmiana będzie nieregularna, bardziej odpowiednie może być potraktowanie terminów jako oddzielnych kategorii. Więcej informacji na temat kodowania czasu zamieściliśmy w naszym kursie metodologii: tutaj.
Nieliniowy przebieg zmian
Nie każda zmiana jest liniowa.
Pacjent może poprawić się bardzo szybko przez pierwszy miesiąc, a później osiągnąć plateau.
Można wtedy rozważyć:
- składnik kwadratowy czasu,
- splajny,
- transformacje,
- bardziej elastyczne modele.
Nie należy narzucać liniowości wyłącznie dla wygody.
Macierz kowariancji
Model mieszany wymaga określenia struktury zależności pomiędzy obserwacjami.
W zależności od danych można rozważyć różne struktury, np.:
- compound symmetry,
- autoregressive AR(1),
- unstructured.
Wybór powinien odpowiadać projektowi badania i być oceniany na podstawie dopasowania modelu.
AIC i BIC
Przy porównywaniu modeli można wykorzystywać m.in.:
- AIC,
- BIC.
Niższa wartość często wskazuje na korzystniejszy kompromis pomiędzy dopasowaniem i złożonością modelu.
Nie należy jednak wybierać modelu wyłącznie na podstawie jednego wskaźnika.
Modele mieszane w SPSS
SPSS umożliwia wykonanie liniowych modeli mieszanych.
W analizie trzeba zdefiniować m.in.:
- zmienną zależną,
- efekty stałe,
- jednostkę powtarzanych pomiarów,
- efekty losowe,
- strukturę kowariancji.
Interpretacja wymaga większej uwagi niż klasyczna ANOVA, ale daje znacznie większą elastyczność.
Jak raportować wynik?
Przykład:
„W liniowym modelu mieszanym stwierdzono istotną interakcję grupa × czas, F(3, 241,6) = 8,42; p < 0,001, wskazującą na odmienny przebieg zmian pomiędzy grupami. W grupie interwencyjnej obserwowano większy spadek wyniku w kolejnych pomiarach.”
Warto dodatkowo podać:
- oszacowane średnie,
- 95% CI,
- współczynniki modelu,
- strukturę efektów losowych,
- sposób modelowania czasu.
Najczęstsze błędy
Do najczęstszych należą:
- traktowanie powtarzanych obserwacji jako niezależnych,
- wybór bardzo złożonego modelu przy małej próbie,
- brak uzasadnienia struktury losowej,
- ignorowanie nieliniowości czasu,
- raportowanie tylko wartości p,
- nieprawidłowa interpretacja interakcji,
- nieuwzględnianie mechanizmu braków danych.
FAQ
Co to jest model mieszany?
Model statystyczny zawierający zarówno efekty stałe, jak i losowe, dzięki czemu może uwzględniać zależność obserwacji.
Kiedy warto stosować modele mieszane?
Przy powtarzanych pomiarach, danych podłużnych i strukturze hierarchicznej.
Czy model mieszany zastępuje repeated measures ANOVA?
Nie zawsze, ale w wielu bardziej złożonych projektach jest od niej elastyczniejszy.
Czy model mieszany radzi sobie z brakami danych?
Może wykorzystywać dostępne obserwacje bez konieczności kompletności wszystkich pomiarów, pod odpowiednimi założeniami.
Czy modele mieszane można wykonać w SPSS?
Tak.
Zapraszamy do współpracy w zakresie analiz
Potrzebujesz analizy danych podłużnych, powtarzanych pomiarów lub modelu mieszanego?
statystyka@statystyka.org.pl – analiza statystyczna do pracy magisterskiej
tel. 692 809 254
Frazy kluczowe: modele mieszane, mixed models, linear mixed model, dane podłużne, powtarzane pomiary, analiza statystyczna, ANOVA z powtarzanymi pomiarami, SPSS, statystyka do pracy mgr, analiza regresji, efekt losowy, efekt stały