ANOVA – jak porównać średnie w trzech lub większej liczbie grup?

Jeżeli chcemy porównać średnie w więcej niż dwóch niezależnych grupach, jednym z podstawowych narzędzi jest analiza wariancji – ANOVA.

Przykładowe pytania badawcze mogą brzmieć:

Czy poziom satysfakcji różni się pomiędzy czterema grupami wiekowymi?

Czy trzy sposoby leczenia prowadzą do różnych średnich wyników?

Czy średni poziom wiedzy różni się w zależności od wykształcenia?

Zamiast wykonywać wiele osobnych testów t, można zastosować jeden globalny test ANOVA.

Dlaczego nie należy wykonywać wielu testów t?

Załóżmy, że mamy cztery grupy:

A, B, C i D.

Porównania parami to:

A–B, A–C, A–D, B–C, B–D i C–D.

Daje to łącznie sześć testów.

Jeżeli każdy przeprowadzimy przy α = 0,05, rośnie ryzyko uzyskania przypadkowo istotnego wyniku.

ANOVA pozwala najpierw sprawdzić, czy jakiekolwiek różnice pomiędzy średnimi istnieją, a dopiero później – jeżeli wynik jest istotny – analizować konkretne różnice.

Co sprawdza ANOVA?

Hipoteza zerowa zakłada:

H0: μ1 = μ2 = μ3 = … = μk

czyli wszystkie średnie populacyjne są równe.

Hipoteza alternatywna mówi, że przynajmniej jedna średnia różni się od pozostałych.

To bardzo ważne.

Istotny wynik ANOVA nie oznacza, że:

każda grupa różni się od każdej innej.

Oznacza tylko, że przynajmniej jedna różnica istnieje.

Co oznacza statystyka F?

ANOVA opiera się na porównaniu zmienności:

• między grupami,
• wewnątrz grup.

Jeżeli różnice pomiędzy średnimi grup są duże w porównaniu z naturalnym zróżnicowaniem wyników w obrębie grup, statystyka F rośnie.

Przykład:

F(3, 196) = 6,84; p < 0,001.

Wynik wskazuje na statystycznie istotne różnice pomiędzy średnimi w analizowanych grupach.

Nie wiemy jednak jeszcze, które pary różnią się między sobą.

Testy post-hoc

Po uzyskaniu istotnego wyniku globalnego można przeprowadzić testy post-hoc.

Jednym z popularnych jest test Tukeya.

Pozwala on porównywać pary grup przy jednoczesnej kontroli problemu wielokrotnych porównań.

W zależności od danych i założeń można stosować także inne procedury.

Wybór testu post-hoc powinien być dopasowany do charakteru analizy.

Jakie są założenia ANOVA?

W klasycznej jednoczynnikowej ANOVA należy zwrócić uwagę m.in. na:

• niezależność obserwacji,
• charakter zmiennej zależnej,
• rozkład w grupach,
• obserwacje odstające,
• jednorodność wariancji.

Podobnie jak w przypadku testu t, nie należy wybierać metody tylko na podstawie testu Shapiro-Wilka.

Warto analizować dane kompleksowo.

Jednorodność wariancji

Klasyczna ANOVA zakłada zbliżone wariancje w analizowanych grupach.

Jednym ze sposobów oceny jest test Levene’a.

Jeżeli założenie jest wyraźnie naruszone, szczególnie przy nierównych liczebnościach, można rozważyć ANOVA Welcha.

Jest ona bardziej odporna na nierówność wariancji.

ANOVA Welcha

ANOVA Welcha jest szczególnie użyteczna, gdy:

• wariancje w grupach są różne,
• liczebności grup są nierówne.

W takiej sytuacji nie trzeba automatycznie przechodzić do testu Kruskala-Wallisa.

Często rozwiązaniem może być właśnie parametryczna analiza odporna na nierówność wariancji.

ANOVA czy Kruskal-Wallis?

Test Kruskala-Wallisa jest metodą rangową.

ANOVA koncentruje się na średnich.

Dlatego nie należy traktować ich jako prostych zamienników wybieranych tylko na podstawie jednego testu normalności.

Dobór metody zależy od:

• skali pomiarowej,
• charakteru rozkładów,
• wariancji,
• obserwacji odstających,
• wielkości próby,
• celu badania.

Wielkość efektu

Sama wartość p nie informuje, jak duże są różnice.

Dlatego warto raportować wielkość efektu.

W ANOVA stosuje się między innymi:

• eta kwadrat,
• częściowe eta kwadrat,
• omega kwadrat.

Jeżeli na przykład:

η² = 0,12

oznacza to, że około 12% zmienności zmiennej zależnej w analizowanej próbie jest związane z przynależnością do grup, zgodnie z interpretacją danej miary.

Nie należy jednak sprowadzać analizy wyłącznie do procentów. Znaczenie wielkości efektu trzeba odnieść do konkretnej dziedziny.

Przykład pełnego wyniku

Załóżmy, że analizujemy cztery grupy zawodowe.

Otrzymujemy:

F(3, 196) = 6,84; p < 0,001; η² = 0,095.

Test Tukeya pokazuje, że:

• grupa A różni się od C,
• grupa A różni się od D,
• B nie różni się istotnie od pozostałych.

Nie możemy więc napisać, że „wszystkie grupy różniły się istotnie”.

Opis musi odpowiadać wynikom post-hoc.

Jak opisać ANOVA w pracy?

Przykład:

„Jednoczynnikowa analiza wariancji wykazała statystycznie istotne różnice w poziomie X pomiędzy analizowanymi grupami, F(3,196) = 6,84; p < 0,001; η² = 0,095. Analiza post-hoc testem Tukeya wykazała istotnie wyższe wyniki w grupie A w porównaniu z grupami C i D.”

Taki zapis zawiera:

• rodzaj analizy,
• statystykę F,
• stopnie swobody,
• wartość p,
• wielkość efektu,
• wynik post-hoc.

ANOVA z powtarzanymi pomiarami

Jeżeli te same osoby są badane kilkukrotnie, klasyczna jednoczynnikowa ANOVA dla prób niezależnych nie jest właściwym rozwiązaniem.

Można wtedy zastosować ANOVA z powtarzanymi pomiarami.

Przykład:

• pomiar przed interwencją,
• po interwencji,
• po 3 miesiącach.

Taki projekt wymaga innego modelu statystycznego.

Najczęstsze błędy

Często spotyka się:

• wykonywanie wielu testów t zamiast ANOVA,
• brak testów post-hoc,
• nieprawidłową interpretację istotnego testu globalnego,
• ignorowanie nierównych wariancji,
• brak wielkości efektu,
• raportowanie tylko p,
• wybór testu wyłącznie na podstawie Shapiro-Wilka.

FAQ

Do czego służy ANOVA?
Do porównywania średnich pomiędzy kilkoma grupami.

Czy ANOVA może porównywać trzy grupy?
Tak. To jeden z klasycznych przypadków zastosowania.

Czy po p < 0,05 trzeba wykonać post-hoc?
Jeżeli chcemy określić, które grupy różnią się między sobą, zwykle tak.

Co zrobić przy nierównych wariancjach?
Jedną z możliwości jest ANOVA Welcha.

Czy ANOVA jest dostępna w SPSS?
Tak. SPSS umożliwia wykonanie klasycznej ANOVA, analiz post-hoc, testów jednorodności wariancji i wielu rozszerzonych modeli.

Analiza ANOVA do pracy lub publikacji

Pomagamy w doborze wariantu ANOVA, testach post-hoc, analizie wielkości efektu oraz przygotowaniu kompletnej interpretacji wyników.

statystyka@statystyka.org.pl
tel. 692 809 254

Frazy kluczowe: ANOVA, analiza wariancji, jednoczynnikowa ANOVA, test F, post hoc, Tukey, Welch ANOVA, eta kwadrat, analiza statystyczna, testy statystyczne, SPSS, statystyka do pracy mgr