W badaniach często analizujemy liczbę zdarzeń: hospitalizacji, zaostrzeń choroby, wizyt w SOR, upadków, infekcji czy błędów. Takie zmienne mają charakter zliczeniowy i przyjmują wartości 0, 1, 2, 3 itd.
Jednym z podstawowych modeli dla takich danych jest regresja Poissona. W praktyce jednak dane bywają znacznie bardziej zmienne, niż przewiduje klasyczny rozkład Poissona. Wtedy warto rozważyć regresję ujemną dwumianową.
Czym jest nadmierna dyspersja?
W prostym modelu Poissona wariancja jest ściśle związana ze średnią. Jeżeli rzeczywista wariancja jest znacznie większa, mamy do czynienia z:
overdispersion – nadmierną dyspersją.
Przykład:
średnia liczba hospitalizacji = 1,8,
wariancja = 7,4.
Tak duża różnica może wskazywać, że klasyczny model Poissona nie opisuje danych wystarczająco dobrze.
Dlaczego overdispersion ma znaczenie?
Jeżeli zastosujemy regresję Poissona mimo silnej nadmiernej dyspersji, błędy standardowe mogą zostać zaniżone.
Konsekwencją mogą być:
- zbyt wąskie przedziały ufności,
- zbyt małe wartości p,
- nadmiernie optymistyczne wnioski.
Model może więc sugerować większą precyzję, niż rzeczywiście zapewniają dane.
Na czym polega regresja ujemna dwumianowa?
Regresja ujemna dwumianowa wprowadza dodatkowy parametr umożliwiający większą zmienność niż w klasycznym modelu Poissona. Dzięki temu może lepiej opisywać sytuacje, w których część osób ma bardzo niewiele zdarzeń, a inni uczestnicy bardzo dużo. Nie oznacza to jednak, że regresja ujemna dwumianowa jest zawsze lepsza. Dobór modelu powinien wynikać z diagnostyki i struktury danych.
IRR – Incidence Rate Ratio
Jednym z podstawowych parametrów interpretacyjnych jest:
IRR – Incidence Rate Ratio.
Jeżeli:
IRR = 1,35
oznacza to, że przewidywana częstość zdarzeń jest około 35% wyższa na jednostkę predyktora albo w stosunku do grupy referencyjnej – zależnie od sposobu kodowania zmiennej.
Jeżeli:
IRR = 0,72
częstość zdarzeń jest około 28% niższa.
Przedział ufności
Wartością neutralną dla IRR jest: 1.
Dlatego wynik warto raportować np.:
IRR = 1,35; 95% CI: 1,12–1,63; p = 0,002.
Taki zapis daje znacznie więcej informacji niż samo p.
Offset i czas obserwacji
Załóżmy:
pacjent A – 3 hospitalizacje w ciągu 3 lat,
pacjent B – 2 hospitalizacje w ciągu miesiąca.
Sama liczba zdarzeń nie jest porównywalna, ponieważ czas ekspozycji jest zupełnie inny.
W modelu można zastosować offset, np. logarytm czasu obserwacji.
Pozwala to analizować częstość zdarzeń na jednostkę czasu.
Poisson czy ujemny dwumian?
Regresja Poissona może być odpowiednia, gdy dane są zgodne z jej założeniami. Regresja ujemna dwumianowa jest szczególnie użyteczna przy nadmiernej dyspersji. Dobór nie powinien opierać się wyłącznie na prostej regule typu „wariancja > średnia”. Warto przeanalizować diagnostykę modelu, dopasowanie oraz charakter danych.
A co z nadmiarem zer?
W niektórych badaniach duża część uczestników ma: 0 zdarzeń.
Można wtedy rozważyć m.in.:
- Model Poissona z zerową inflacją (zero-inflated Poisson),
- Model dwumianu ujemnego z zerową inflacją (zero-inflated negative binomial),
- Modele płotkowe (hurdle models).
Nie należy jednak stosować tych modeli tylko dlatego, że „zer jest dużo”. Powinien istnieć sensowny mechanizm generujący nadmiar zer.
Przykład
Badamy liczbę hospitalizacji w ciągu roku.
Predyktory:
- wiek,
- płeć,
- liczba chorób współistniejących,
- grupa terapeutyczna.
Otrzymujemy:
IRR = 1,22; 95% CI: 1,10–1,36; p < 0,001
dla liczby chorób współistniejących.
Możemy napisać:
„Każda dodatkowa choroba współistniejąca była związana z około 22% wyższą częstością hospitalizacji po uwzględnieniu pozostałych zmiennych modelu.”
Jak opisać wynik?
„W regresji ujemnej dwumianowej większa liczba chorób współistniejących była związana z wyższą częstością hospitalizacji (IRR = 1,22; 95% CI: 1,10–1,36; p < 0,001), przy uwzględnieniu wieku, płci oraz czasu obserwacji.”
Najczęstsze błędy
- stosowanie regresji liniowej do danych zliczeniowych bez uzasadnienia,
- ignorowanie nadmiernej dyspersji,
- nieuwzględnienie czasu ekspozycji,
- mylenie IRR z OR,
- nieuwzględnianie diagnostyki dopasowania,
- stosowanie modeli z zerową inflacją bez uzasadnienia.
FAQ
Kiedy stosować regresję ujemną dwumianową?
Gdy analizujemy dane zliczeniowe, a model Poissona nie radzi sobie z nadmierną dyspersją.
Co oznacza IRR = 1,5?
Około 50% wyższą częstość zdarzeń na jednostkę predyktora lub względem kategorii referencyjnej.
Czy negative binomial jest zawsze lepsza od Poissona?
Nie. Dobór powinien wynikać z danych i dopasowania modelu.
Czy można ją wykonać w SPSS?
Tak, w ramach uogólnionych modeli liniowych.
Co zrobić przy wielu zerach?
Najpierw ustalić, czy istnieje uzasadnienie dla dodatkowej struktury zer, a dopiero potem rozważać modele zero-inflated lub hurdle.
Współpraca w zakresie analiz statystycznych
Potrzebujesz analizy danych zliczeniowych, regresji Poissona lub modelu ujemnego dwumianowego?
statystyka@statystyka.org.pl – statystyka
tel. 692 809 254